La paradoja de Banach-Tarski

Las paradojas son atractivas porque desafían la intuición y por ello han ganado notoriedad, por derecho propio, como una curiosidad.

La paradoja de Banach-Tarski (o Teorema de  Banach-Tarski), en pocas palabras lo que dice es que si tomas una bola, o esfera, tridimensional (3D), la puedes dividirla en número finito de piezas  y luego girar y trasladas algunas de las piezas, y así podrás conseguir dos bolas exactamente iguales a la que tenías al comienzo. Esto es, que podría pensar que duplicamos el volumen, y de hecho lo hicimos.

paradoja de Banach-Tarski

Es por ello que la Paradoja de Banach-Tarski es, hoy por hoy, uno de los teoremas más extraños de la matemática moderna, y no es para menos el hecho de que una esfera se puede descomponer en conjuntos de aspecto peculiar, después de lo cual estos conjuntos pueden ser recombinados para formar dos esferas, cada una perfectamente idéntica a la original en todos los sentidos, no es nada evidente.

Stefan Banach y Alfred TarskiFue en 1924, cuando de manera formal los matemáticos polacos Stefan Banach y Alfred Tarski demostraron un teorema realmente notable: dado una pelota sólida en R3, es posible dividirlo en un número finito de piezas y volver a ensamblarlas para formar dos bolas sólidas, cada una con idéntico tamaño a la original.

Al principio tal duplicación parece imposible. Por lo que es importante señalar que el Teorema de Banach-Tarski sólo se aplica a los objetos matemáticamente ideales, al parecer no a los objetos físicos. Sin embargo, un momento de reflexión nos recuerda que el mundo matemático no siempre obedece a la intuición. (Además, otra de las cosas que el teorema nos dice es que el concepto de “volumen” de un objeto matemático tridimensional no está tan bien definido en un sentido matemático estricto como intuitivamente parece estar en nuestro físico tridimensional real mundo).

Banach-TarskiEl teorema se basa en ciertas propiedades de los números reales, a saber, que hay infinitamente muchos de ellos, y que no se puede igualar los Números Reales uno-a-uno con los Números Naturales.

Ahora bien, en cualquier esfera física, no hay infinitos átomos, sólo hay un número finito que se pueden separar y reorganizar. Además, no se puede duplicar repentinamente el número de átomos.

Esta situación no es un problema para los números reales. ¿Cuántos números reales hay entre 0 y 1? Hay muchos, infinitos.  ¿Cuántos números reales hay entre 0 y 2? Una vez más, infinitamente muchos…

Infinito

 

Pero, veamos algo curioso:

Considere una función que multiplica números por 2. Si aplicamos esta función a cualquier número “x” entre 0 y 1, multiplicamos ese número por 2 y terminamos con un número “y” entre 0 y 2. Además, para cada número “y” entre 0 y 2, hay exactamente un número “x”  -entre 0 y 1- que cuando se multiplica por 2 da el número “y”. (Específicamente, es y / 2).

En otras palabras, los números reales entre 0 y 1 pueden coincidir uno a uno con los números reales entre 0 y 2. En un sentido, hay dos veces más números entre 0 y 2, ya que hay entre 0 y 1 (porque 0 a 2 es el doble de “largo” que 0 a 1); pero en otro sentido hay exactamente el mismo número de números entre 0 y 2, ya que hay entre 0 y 1.

Números Infinitos

Así, para mostrar el Teorema de Banach-Tarski, necesitaríamos obtener una concordancia uno a uno similar, usando una operación que no “estire” las cosas como lo hace la multiplicación. La operación que se utiliza es la rotación en tres dimensiones. A los que estén interesados en ver una demostración simplificada y no muy formal, pero sí muy  intuitiva e inteligible, les invito a que visiten la siguiente dirección:  http://www.irregularwebcomic.net/2339.html

En definitiva, eso de que tomemos una esfera y la convertimos  en dos esferas idénticas sin agregar nada más tiene enormes implicaciones no sólo en matemáticas, o las ciencias en general, sino que para los filósofos es un terreno muy fértil para debatir. Las Matemáticas nos permiten describir de manera abstracta y predecir, con increíble exactitud, multitud de cosas del mundo real, pero pareciera que la paradoja de Banach-Tarski se muestra como un lugar donde las matemáticas y la física se separan.

Naranjas

Sin embargo la historia está llena de ejemplos de conceptos matemáticos que pensábamos que nunca se aplicarían al mundo real y después de años finalmente la ciencia da cuenta de ellos y genera útiles aplicaciones, algo así podría ocurrir con la paradoja de Banach-Tarski, las matemáticas dicen que es teóricamente válida y algunos científicos piensan que también puede ser físicamente válida, e incluso hay un número de artículos publicados que sugieren vínculo entre Banach-Tarski y el camino que toman las pequeñas partículas subatómicas cuando chocan a altas energías y se convierten en más partículas de las que había antes de chocar.

particulas

En lo que sí debemos estar todos de acuerdo es en que realmente, somos criaturas muy pequeñas y nuestras vidas son finitas y relativamente cortas, además,  por lo que sólo podemos abarcar, científicamente, un pequeño trozo de la realidad. Lo que es común para nosotros es sólo a lo que podemos acceder, lo cual corresponde a una mínima porción de lo que podría estar disponible en todo el Universo. Reflexionando sobre ello deberíamos estar preparados para aceptar que no deberíamos considerar “extraños” a ciertos resultados a lo que la ciencia ha llegado (tal como la paradoja de Banach-Tarski), Además, debemos  recordar siempre que dichos resultados son válidos dentro del sistema que utilizamos para medir, entender, ordenar y predecir el Universo. Es muy probable que dicho sistema todavía necesite perfeccionarse. En definitiva, la historia continúa mostrándonos que el universo no es extraño, los extraños somos nosotros.

Teorema de Banach-Tarski

¿Qué no te he convencido? Si quieres ver la prueba -es un poco larga- te dejo el artículo original de Banach y Tarski:

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or1/or1116.pdf

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