Complejidad Tipo I
El secreto de la felicidad es tener gustos sencillos y una mente compleja, el problema es que a menudo la mente es sencilla y los gustos son complejos.
El concepto de “Complejidad”, tiene una fuerte base técnica, de tipo matemático. En ciencia existen las palabras «Complejidad» y «Complejo» para referirse originalmente a todo aquello compuesto por más de un elemento. Las ciencias sociales definen comúnmente Complejidad como el número de elementos necesario para describir un Sistema, lo cual es una manifestación del Enfoque Fenomenológico. Así, cuantos más datos, más complejo será.
Para las ciencias «duras», la Complejidad está más relacionada con la dificultad para predecir el resultado (número de grados de libertad). Cuantos más grados de libertad, mayor Complejidad. Esta “Complejidad” es una manifestación del Enfoque Racionalista, nacida fundamentalmente en el ámbito de la matemática. El Enfoque Racionalista plantea que los objetos científicos no son únicamente los objetos observables y medibles, como sostiene el Enfoque Empirista- Inductivista, sino también, y sobre todo, los objetos pensables y calculables.
Ahondemos un poco. Durante cientos de años el Reduccionismo –la idea de que el mundo es un ensamblaje de partes- se ha apoyado en técnicas matemáticas que, además de cuantificar la realidad, al linealizar los factores intervinientes permiten que se sumen y resten sus partes ordenadamente. Como se sabe, el ámbito de enunciación a partir del cual se construyó el paradigma mecanicista, y en general la ciencia moderna, lo constituía básicamente el saber matemático.
Para la ciencia un fenómeno es ordenado si sus movimientos se pueden explicar en un esquema de causas y efectos, representándolos comúnmente por una ecuación diferencial generalmente lineal con características del Determinismo Filosófico, es decir, la seguridad de conocer el estado futuro de un Sistema a partir del estado actual y de las leyes (ecuaciones) que fijan su comportamiento.
Veamos a continuación un ejemplo sencillo que nos permita entender. Una Ecuación Lineal, o de primer grado, es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia.
La ecuación lineal: Xn = Xo + 10.n pasa de un estado al siguiente agregando una cantidad de incremento fijo a la variable descrita, perpetuando, de esta manera, indefinidamente la precisión de las observaciones, es decir, un error de 0,001 en el estado inicial afectará en ese mismo porcentaje los estados sucesivos.
Teoría del Caos
Existe una clase de ecuaciones muy diferentes, las No Lineales, cuyos modelos incluyen una gran parte de nuestro mundo, en las cuales ínfimas modificaciones pueden tener consecuencias mayores en el desarrollo normal de un proceso temporal. El fenómeno es bien conocido en matemáticas con el nombre de inestabilidad exponencial, un cambio ínfimo tendrá consecuencias imperceptibles en los primeros instantes, pero tenderá a amplificarse con el tiempo a un ritmo exponencial, impidiendo toda previsión cuantitativa a largo plazo, si se hace a partir de un conocimiento aproximado del estado inicial.
Hay que tomar consciencia de las dificultades que causa la inestabilidad exponencial en materia de predicciones Por ejemplo, la ecuación No Lineal: Xn = Xo.10n muestra que los errores se multiplican por 10 en cada iteración, amplificándose muy rápidamente, por ejemplo un error de 0,001 en el valor inicial se convierte en un error de 1000 en la sexta iteración.
Maxwell, el físico más grande del siglo XIX, recuerda que si bien es indudable que las mismas causas producen los mismos efectos, la sensibilidad a las condiciones iniciales hará que causas semejantes no tengan necesariamente efectos semejantes, debemos admitir que ninguna influencia es demasiado pequeña para ser pasada por alto. Los Sistemas previsibles forman una clase extraordinariamente restringida. En una inmensa mayoría de Sistemas resulta vano querer aislar una relación causal, En el mundo No Lineal la predicción exacta es imposible, las ecuaciones diferenciales No Lineales tienen realimentación, es decir, tiene términos que se multiplican repetidamente por sí mismos. Esta iteración que implica la continua reabsorción de lo que ocurrió antes aparece en casi todo: en las partículas elementales; en las células de nuestro cuerpo que son recicladas cada 7 años; el páncreas remplaza la mayoría de sus células cada 24 horas; la pared del estómago cada 3 días, aun en el cerebro el 98% de la proteína se recicla cada mes. Poincare reveló que el potencial para el Caos es la esencia de un Sistema No Lineal. Un Sistema Caótico es el que cualquier evento del universo, por insignificante que sea, tiene el poder potencial de desencadenar una ola de eventos que alteren el Sistema completo, de allí su carácter impredecible. Lamentablemente, y debido a variaciones lingüísticas, el significado de la palabra se desplazó a desorden. Expliquemos esta situación.
Hablemos….Mejor….Ejercitemos un poco el Caos
El caos siempre derrota al orden porque está mejor organizado.
Llamaremos Espacio de Fases, o Espacio de Estados, a un gráfico compuesto por tantas dimensiones o variables como las que se necesitan para describir la evolución de un Sistema. A la línea que describe dicha evolución se le llama trayectoria. En un sistema mecánico, se suele registrar el Espacio de Fases en términos de posición y velocidad. No está demás decir que un viaje por el Espacio de Fases luce muy diferente de un viaje por el espacio real
Un Atractor es una región del Espacio de Fases que ejerce una atracción sobre el Sistema que se trata de describir y parece arrastrarlo hacia él.
Así, la trayectoria de un Péndulo, con fricción y resistencia del aire, en un Espacio de Fases cuyos ejes serían la velocidad y posición del mismo, nos ejemplifica con claridad el concepto de Atractor.
Por ejemplo: el movimiento pendular de vaivén o balanceo hasta detenerse presenta un Atractor de Punto Fijo (el reposo final). En cambio el movimiento oscilante de un reloj de cuarzo es siempre como el de un péndulo en el vacío y sin roce, impulsado hacia una senda cíclica en el Espacio de Fases, esta senda se llama Ciclo Límite o Atractor de Ciclo Límite.
Si acoplamos dos movimientos como el anterior formamos un Atractor tipo Toro.
La naturaleza descrita por estos Atractores es muy regular. Los Sistemas decaen suavemente ante los Atractores de Punto Fijo u oscilan en Atractores de Ciclo Límite alrededor de una forma toroidal. La situación anterior ha permitido desarrollar la noción de “Previsibilidad Asintótica”, es decir, aunque ignoremos el estado exacto de un Sistema en un momento, se confía en que, por muy lejos que indaguen en el futuro, el Sistema estará moviéndose en la superficie toroidal y no vagando al azar en el Espacio de Fases, pero puede ocurrir que dicho movimiento en cada órbita se amplifiquen perturbaciones, dando como resultado una resonancia que provoca el estallido de la superficie del toro en el Espacio de Fases. Dicho Atractor desintegrado se denomina Atractor Extraño, cuya superficie ingresa en un espacio de dimensión fraccional, generándose el Caos.
Un Atractor Extraño -también llamado Atractor Caótico– es totalmente distinto de los otros dos Atractores: Punto Fijo y Ciclo Límite, utilizados para estudiar el comportamiento de un Sistema Estable -o que experimenta una repetición continua-.Aunque el Atractor Extraño también es estable, tiene dos diferencias básicas: al contrario que un Ciclo Límite, muestra una enorme sensibilidad respecto a las condiciones iniciales.
En segundo lugar, a diferencia de un Ciclo Límite, es un objeto Fractal.
La palabra Fractal fue creada por el matemático polaco Benoît Mandelbrot en 1975, para describir la geometría particular de formas irregulares que tienen el mismo aspecto en todas las escalas de longitud (Autosimilitud). El descubrimiento de las estructuras fractales ha revelado una nueva forma de contemplar los infinitos niveles de complicación de la naturaleza que están a nuestro alrededor y dentro de nosotros. En cuanto un Sistema Dinámico ha sido absorbido por un Atractor Extraño, resulta imposible predecir su conducta futura a largo plazo. Aunque las ecuaciones que gobiernan la forma en que estos Sistemas evolucionan en el tiempo sean deterministas –en el sentido de que puedan predecir todo el comportamiento futuro- su exquisita sensibilidad (popularizado hoy como Efecto Mariposa, el cual sostiene que el aleteo de una mariposa en Hong Kong origina una corriente de aire que podría crear una tormenta en el Caribe) anula el ensueño de un universo exacto y predecible.
Hace 50 años el matemático y meteorólogo estadounidense Edward Lorenz dejó, de esta manera bien claro, el por qué los hombres del tiempo se equivocan tanto en sus predicciones. Bajo el título de “Flujo Determinístico No- Periódico”, publicó un artículo que, 50 años después, es uno de los más citados de la historia científica, el mismo contenía la moderna formulación de la hoy popular Teoría del Caos que es, primordialmente, una teoría matemática.
En mi caso, no fue sino hasta 1993 cuando se estrenó la súper popular Jurassic Park, dirigida por Steven Spielberg, y en la cual Jeff Goldblum, interpretando al Dr. Ian Malcolm, un matemático y profesor de la Teoría del Caos, advertía del riesgo de la clonación de dinosaurios… fue ese mi primer contacto con la Teoría del Caos.
La metáfora del efecto mariposa es muy sugerente y ha dado para varias películas, libros y hasta una cosmogonía sobre el papel del hombre en el mundo, pero, aunque poética, se torna inútil, ya que en la práctica no podemos saber si hubo o no aleteo, o en todo caso, cuántos de ellos ocurrieron.
Ahora bien, comparto con el profesor argentino Moisés Sametband, el afirmar que es válido extender los descubrimientos sobre el Caos a otras áreas, como el comportamiento humano, mediante analogías, pero, teniendo mucho cuidado: “cuando se trata, por ejemplo, del comportamiento humano, individual o colectivo, que tiene una complejidad incomparablemente mayor que la de los sistemas físicos, esa extensión debe hacerse con mucha prudencia, y en general sólo puede tener un carácter de analogía”.
Por otra parte y de nuevo, un pensador de la talla de Mario Bunge, en su libro “Cápsulas”, nos advierte sobre las extrapolaciones de la Teoría del Caos a otras áreas (especialmente, las ciencias sociales) cuando las mismas constituyen extensiones cualitativas de la teoría, es decir, cuando no existe un sistema de ecuaciones deterministas específicas que modelen dicha realidad: «Tal vez haya caos por todas partes, pero uno no debiera de creer todo lo que hoy día se escribe sobre él. Muchas de estas publicaciones son inexactas, y algunas sensacionalistas. Esto se aplica, en particular, a las especulaciones de algunos estudios de la sociedad que, sin escribir ecuaciones, trazan paralelos entre las fluctuaciones económicas o políticas y la turbulencia de los líquidos.
Antes de comprar una mercancía cultural que lleve el rótulo ‘caos‘ (o ‘dinámica no lineal’) es preciso cerciorarse de que contiene ecuaciones no lineales que han sido puestas a prueba confrontándolas con datos fehacientes”.
El Caos se diferencia de los efectos incontrolables del azar o de las fluctuaciones estocásticas, en el hecho de generarse internamente, atrapado en un Atractor Extraño, mientras que los otros obedecen a. causas en el entorno. Los Sistemas deterministas que se mantienen así mismo por oscilación, iteración, realimentación y Ciclo Límite (Sistemas que incluyen la mayoría de las cosas que nos interesan) son vulnerables al Caos y enfrentan un destino imprevisible si se los lleva más allá de Límites Críticos (Valor Umbral).
Todos los Sistemas ordenados sienten el salvaje y seductor llamado del caótico Atractor Extraño. Una evolución caótica refuta cualquier capacidad de predicción a largo plazo en la evolución temporal y además las medidas registradas en un experimento no pueden repetirse, parecen comportarse conforme a su propia voluntad. Como veremos a continuación, existen Sistemas muy simples cuyo comportamiento es caótico, lo cual se incrementa velozmente cuando los Sistemas son Complejos, tales como el cerebro donde existen aproximadamente 12 billones de neuronas, con más de 100 trillones de conexiones.
Vamos a experimentar con un ejemplo sencillo de Caos, todo lo que necesitas es una calculadora. Mi calculadora posee la tecla X2, espero que la tuya también (sino la tienes multiplicas por el mismo número). Elije un número entre 0 y 1, por ejemplo, uno muy fácil como 0,54321 y aprieta la tecla X2, repite el procedimiento una y otra vez y fíjate en los resultados. Qué sucede? Van disminuyendo, verdad, y aproximadamente a la novena vez que aprietas la tecla de la calculadora obtienes 0 (cero) y dado que 02 es 0, a partir de ese momento no cambia. Es decir X2 iniciando con cualquier número entre 0 y 1, presenta un Atractor de Punto Fijo, el cero (0).
A ese procedimiento se le llama iteración, realizar una misma operación una y otra vez. Veamos con otra tecla, por ejemplo la tecla del coseno (cos), coloca previamente la calculadora en modo rad (radian) comencemos de nuevo con el 0,54321, descubrirás que después de haber pulsado la tecla unas 40 veces obtienes el número 0,739085133 que permanece invariable. Nuevamente la iteración tiende a establecerse en un único número: converge a un estado estacionario (un Atractor de Punto Fijo).
La tecla tan (tangente) aunque pareciese comportarse de la misma manera, no lo hace, varía, aunque muy poco (digamos 0,0000001) por iteración. A esta modalidad se le conoce como intermitencia.
La tecla ex produce un rápido crecimiento hasta 268,5524672 y luego da un mensaje de error al hacerse demasiado grande. La tecla √ (raíz cuadrada) converge a 1.
La tecla 1/x (X-1) produce un resultado más interesante: cambia alternativamente de 0,54321 a 1,840908673. La iteración es periódica, con período 2.
Las teclas de la calculadora se acaban rápidamente, pero podemos inventar nuevas, por ejemplo: X2 – 1, para hacerlo primero pulsas X2 y después -1. Si iteras, o repites, esa operación encontrarás que vas de 0 a -1 alternativamente, aparece de nuevo un ciclo de período 2.
Un último intento, construye una tecla imaginaria para 2X2 -1, comienza con 0,54321, ve anotando los resultados que obtienes en cada iteración, luego de un largo rato te darás cuenta que no converge, de hecho, salta de un número a otro, de forma bastante caótica. Una ecuación, o tecla, sencilla con un resultado que parece aleatorio.
Ahora para tu mayor sorpresa, repite de nuevo la iteración, pero en vez de comenzar con 0,54321, comienza con 0,54322 (es decir, sólo cambias el último número, de 1 a 2, en las cienmilésimas). De nuevo los resultados te parecerán completamente aleatorios, pero ahora, completamente diferentes a los resultados anteriores. Un ligero cambio en el valor inicial (como dijimos, en el orden de una cienmilésima) y se pierde completamente la pista de a dónde va. Raro no?, X2 – 1 se comporta bastante bien, pero 2X2 -1 es tan extraña.
Para mayores sorpresas te diré que con la tecla 1,4X2 – 1 produce un ciclo bastante complicado a través de 16 valores diferentes. Para 1,7X2 – 1 se obtiene un Caos ya desarrollado. Para 1,75X2 – 1 al principio parece lo mismo, pero luego se estabiliza con un ciclo de período 3 (0,744; -0,030; -0,998).
Hemos descubierto que el Caos y el Orden emergen, íntimamente entrelazados, de una formula tan simple como N.X2 – 1. Algunos valores de N conducen a iteraciones ordenadas, otros, notablemente parecidos, al Caos. Se pone de manifiesto que los Sistemas simples no poseen necesariamente propiedades dinámicas simples.
Veamos a continuación, otro ejemplo matemático de la irrupción del Caos, aunque con un modelo matemático parecido al anterior, pero ahora cargado de significación y mejor aún de significación educativa:
En efecto, la ecuación: Xi+1 = L.Xi(1-Xi) es un simple modelo matemático que surge de la ecuación logística desarrollada por P.F. Verhulst en 1845, para estudiar el crecimiento de las poblaciones, y reajustada por la American Educational Research Association. Esta ecuación se basa en la suposición de que para cada aprendiz la cantidad de información aprendida ahora, está relacionada con la cantidad de información asimilada anteriormente (Premisa Ausubeliana).
Tenemos que: Xi representa el estado de la información actual. Xi+1 representa el nuevo o futuro estado. L la tasa de aprendizaje a la cual la información es procesada. (1 – Xi) representa la degradación en el procesamiento de la información.
En esta ecuación está presente un proceso de realimentación o iteración que, como dijimos, es pieza importante en el estudio de los Sistemas Dinámicos. La iteración de esta ecuación conduce siempre al equilibrio o al Caos.
Por ejemplo para L = 1,2 y Xi = 0,1 el sistema se estabiliza en 0,3333 (Atractor de Punto Fijo).
Luego para L = 2 y Xi = 0,1 el nuevo atractor es 0,5 (Atractor de Punto Fijo, o período de un Ciclo).
Con L = 3 el Sistema presenta una bifurcación entre 0,6746 y 0,65854 (2 Atractores, o período de 2 ciclos).
Cuando L = 3,4 el sistema entra en un período de 4 ciclos o 4 Atractores.
Con L = 3,56 se presentan 8 Atractores y con L = 3, 567 se presentan 16 Atractores.
Cuando L = 3,58 nos encontramos con periodo infinito. El Caos ha llegado, el estado del Sistema puede ser cualquier valor entre 0 y 1. No hay forma de predecirlo.
El Sistema incrementa su Complejidad de un estado de estabilidad a un estado periódico y más adelante a un estado caótico, lo anterior nos muestra la conclusión inescapable de que la predictibilidad es una falsa criatura llena de errores. A partir de un Punto Umbral o de Bifurcación el Sistema puede tomar cualquier comportamiento en un momento dado. Estos resultados, como vimos, no necesitan de complejidades matemáticas para que aflore el Caos.
Complejidad Tipo II, o de corte Postmoderno.
Como dije en el punto anterior la Complejidad se apoya en el ámbito matemático, específicamente, en relaciones cuantitativas entre valores de parámetros y valores de variables que definen la Linealidad y No-Linealidad. En efecto, el que un Sistema sea lineal o no dependerá de la ecuación o modelo que lo describa, ya que los vínculos causa-efecto son lineales en el sentido de la sucesión temporal aún en Sistemas en los que existe retroalimentación, cuya representación eventual puede o no ser de forma curva o No Lineal. En el fondo sólo será una metáfora para describir de orden imaginativo que, por supuesto, podría ser otra. Es que la Recursividad no implica No Linealidad, por ejemplo la ecuación recursiva Xn+1=5.Xn, es una Ecuación Lineal.
Lo que debe quedar claro es que no es sinónimo de Complejo la No-Linealidad y, por el contrario, modelos matemáticos Lineales, como los de Programación Lineal en la Investigación Operativa, pueden ser muy Complejos.
Estas verdades se han visto, lamentablemente, tergiversadas en diferentes áreas de las ciencias sociales y en la filosofía conocida como postmoderna, por personajes que generalmente sienten aversión por las matemáticas e incluso por las ciencias en general, generando con dicha actitud un oscurantismo académico que se pone de manifiesto a través de un tajante rechazo a los ideales intelectuales de la ilustración francesa (racionalidad, cientificismo y progresismo).
Muchos son los personajes que destacan con esa actitud, entre ellos uno de los más renombrados es Edgar Morin que, simplemente, reprueba los modelos lineales, a través de su perspectiva de la Complejidad, tomada de las ciencias duras, adaptada a sus intereses y convertida en total ambigüedad, utilizando palabras en su discurso con una alta potencialidad impactante que invita a la soberbia. Sin embargo, dichos modelos Lineales, aunque son como todo modelo, insuficientes para captar la realidad, están tan bien establecidos y tan probados que generan millones de dólares de ganancias diarias a empresas, como por ejemplo las petroleras, las cuales basan toda su producción en modelos de Programación Lineal.
Morin, muestra a menudo un evidente desprecio por el conocimiento científico o empírico. Así, en su libro Introducción al Pensamiento Complejo, Morin afirma:
“Hay una nueva ignorancia ligada al desarrollo mismo de la ciencia, hay una nueva ceguera ligada al uso degradado de la razón, las amenazas más graves que enfrenta la humanidad están ligadas al progreso ciego e incontrolado del conocimiento. Es necesario tomar conciencia de la naturaleza y de las consecuencias de los paradigmas que mutilan el conocimiento y desfiguran la realidad”.
Incluso presenta a las ideas como “seres” que tiene vida propia, autónoma de nuestra mente, que incluso pueden “poseernos” en forma análoga a las posesiones demoníacas planteadas en el viejo oscurantismo religioso. En efecto, nos dice:
“Las ideas han tomado forma, consistencia, realidad a partir de los símbolos y de los pensamientos de nuestras inteligencias”.
“La formidable sublevación de estos seres espirituales impulsó y arrastró al homo sapiens… ”
“Las creencias y las ideas no sólo son productos de la mente, también son seres mentales que tienen vida y poder. De esta manera, ellas pueden poseernos” (Morin).
No es precisamente el conocimiento el que permite superar los errores e ilusiones? Sin embargo, Morin atribuye los errores e ilusiones al conocimiento, como todo postmoderno, y no a sus limitaciones.
Lamentablemente, muchos alumnos y profesores, sobretodo de las áreas sociales, viven generalmente dormidos a esta realidad, lo cual, pienso, les imposibilita incluso discernir si sus razonamientos o inferencias cumplen con las condiciones que les impone el marco teórico sobre el cual se basan y en el que son válidos, para poder aplicarlos en otros contextos, y por el contrario se quedan extasiados ante el misterio de la Complejidad, llegando incluso a despotricar de la razón y así, de esta manera, promover el oscurantismo, predicando cosas como la «transcomplejidad» o el «holismo» otra de las consignas posmodernas, la cual sugiere lo contrario del análisis y la razón, los que a su vez son blanco de los ataques contra la modernidad.
En efecto, al pretender tratar la totalidad, al parecer al “holista” se le escapan las peculiaridades de las partes. Otros inventos que generalmente usan, es una terminología propia de las matemáticas, de la física o de la tecnología más avanzada, la cual en estos ámbitos de enunciación tiene una alta potencialidad efectista, que hace que la ciencia deje de ser evaluable y criticable para convertirse en un “misterio poético”, pienso que con fines retóricos y manipuladores.
Aquí entra, como anillo al dedo, una frase lapidaria del gran físico inglés, pionero de la Cuántica y premio Nobel, Paul Dirac:
«En la Ciencia uno trata de decirle a la gente, de modo que todos entiendan, algo que antes nadie sabía. Pero en la Poesía ocurre exactamente lo contrario«.
Cuanta falta hace en esas áreas del saber un curso de Pensamiento Crítico.
Debiéramos ser intolerantes con el charlatanismo, porque, definitivamente, hace mal a la educación e imposibilita nuestro avance y desarrollo como sociedad.
¡No hemos acabado aún! En próximos días publicaré la parte final del artículo ¡Atentos!
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